Question

（2007•淄博三模）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，在正方體表面上與點(diǎn)A距離是

2 3

3

的點(diǎn)形成一條曲線，這條曲線的長(zhǎng)度是（　�。�

• A．

  3

  3

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  3

  π
• D．

  5 3

  6

  π

Answer 1

分析：本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據(jù)曲線的性質(zhì)及解析幾何知識(shí)即可求出長(zhǎng)度．

解答：解：由題意，此問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、

2 3

3

為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個(gè)面上交線的長(zhǎng)度計(jì)算，
正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過(guò)球心的截面，截痕為大圓弧，
各弧圓心角為

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，
截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=

3

3

，故各段弧圓心角為

π

2

．
∴這條曲線長(zhǎng)度為3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3

6

π
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，避免出錯(cuò)．