Question

已知函數．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=lnx-ax²+x，可求得f′（x）=，然后對a分a=0，a＞0，與a＜0分類討論，利用f′（x）＞0，與f′（x）＜0可得其遞增區(qū)間與遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知，當a＞0，函數取到極大值，此時f（x）=0有兩個不等的根，即有兩個不等的根構造函數y=lnx與，則兩個圖象有兩個不同的交點，從而可求a的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=lnx-ax²+x，a∈R，∴f′（x）=-ax+1=（x＞0），
∴當a=0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，由于x＞0，故-ax²＞0，于是-ax²+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞0時，f′（x）＞0得，0＜x＜，即f（x）在（0，）上單調遞增；
由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上單調遞減；
（2）由（1）可知，當a＞0，x=時函數取到極大值，此時
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0
∴f（x）=0有兩個不等的根
即有兩個不等的根
即有兩個不等的根
構造函數y=lnx與，則兩個圖象有兩個不同的交點
∵y=lnx過（1，0），的對稱軸為直線，頂點坐標為
∴，解得a＜2
∴0＜a＜2
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值，突出分類討論思想與轉化思想的滲透與應用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問題轉化為圖象開口向下與X軸有兩個交點，思路巧妙，學習中值得借鑒．