Question

已知橢圓C：的離心率為，橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率k的值；
②已知點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關(guān)系，建立等式，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可求斜率k的值；
②利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積公式，計(jì)算即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190347249540558/SYS201310241903472495405021_DA/1.png">滿足a²=b²+c²，，…（2分）
根據(jù)橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，可得．
從而可解得，
所以橢圓方程為…（4分）
（2）證明：①將y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（6分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，…（7分）
因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得…（9分）
②由①知，
所以…（11分）
==…（12分）
===…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)．