（2007•天津一模）已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設(shè)4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夾角θ的取值范圍；
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當(dāng)|
OQ
|取最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．
分析：（1）利用三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）利用三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)用c表示，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出|
OQ
|取得最小值時(shí)的c的值即可．
解答：解：（1）由已知，得
1
2
|
OF
|•|
FQ
|sin(π-θ)=2
6
|
OF
|•|
FQ
|•cosθ=m

∴tanθ=
4
6
m
，
∵4
2
＜m＜4
6
，
∴1＜tanθ＜
3
得
π
4
＜θ＜
π
3
．
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)Q(x1，y1)，則
FQ
=(x1-c，y1)．
∵△OFQ的面積
1
2
|
OF
||y1|=2
6
，
∴y1=±
4
6
c
．
又由
OF
•
FQ
=(c，0)(x1-c，y1)=(x1-c)c=(
6
4
-1)c2，
∴x1=
6
4
c．
|
OQ
|=
x
2
1
+
y
2
1
=
3c2
8
+
96
c2
≥
12
，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)|
OQ
|最小
此時(shí)Q的坐標(biāo)為(
6
•
6
)或(
6
，-
6
)．
由此可得
6
a2
-
6
b2
=1
a2+b2=16

解得
a2=4
b2=12

故所求的方程為
x2
4
-
y2
12
=1．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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[8，
26
3
)
[8，
26
3
)
．

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（2007•天津一模）已知cosθ=
1
3
，θ∈（0，π），則cos（
3π
2
+2θ）=（　　）

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（
2
24
或
3
12
或
2
12
）
（
2
24
或
3
12
或
2
12
）
．（寫出一個(gè)可能值）

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（2）求二面角B-A1D-A的大小；
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說明理由．

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