Question

（2007•天津一模）如圖，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離；
（2）求二面角B-A₁D-A的大�。�
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直棱柱的定義結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與判定，證出BC⊥平面A₁C₁CA，從而BC長(zhǎng)即為B點(diǎn)到平面A₁C₁CA的距離，結(jié)合題意得到點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離為2；
（2）分別以AB、CA、CC₁為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得C、B、A、C₁、B₁、A₁、D和E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到

BD

、

BA1

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出

n

=（1，-1，2）是平面A₁BD的一個(gè)法向量，結(jié)合

m

=（1，0，0）是平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式即可算出二面角B-A₁D-A的大�。�
（3）設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD，利用（2）的結(jié)論得此時(shí)

n

∥

FE

，算出

EF

=(1，-y，2)并利用向量平行的條件解出y=1，從而得到存在線段AC的中點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD．

解答：解：（1）∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱住，
∴CC₁⊥底面ABC，結(jié)合BC?底面ABC，可得CC₁⊥BC
∵AC⊥CB，AC、CC₁是平面A₁C₁CA內(nèi)的相交直線
∴BC⊥平面A₁C₁CA…（2分）
可得BC長(zhǎng)即為B點(diǎn)到平面A₁C₁CA的距離
結(jié)合BC=2可得點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離為2…（4分）
（2）∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱住，C₁C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點(diǎn)
∴分別以AB、CA、CC₁為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）…（6分）
∴

BD

=

(-2，0，1)， BA1 =(-2，2，2)

設(shè)平面A₁BD的法向量為

n

=（1，λ，μ）
可得

n• BD =0 n• BA1 =0

，即

-2+μ=0 -2+2λ+2μ=0

，解之得λ=-1、μ=2
∴

n

=（1，-1，2）…（8分）
又∵

m

=（1，0，0）是平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量，
∴由cos＜

m

，

n

＞=

1

6

=

6

6

，可得二面角B-A₁D-A的大小為arccos

6

6

…（10分）
（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD…（11分）
根據(jù)（2）的結(jié)論可知，當(dāng)且僅當(dāng)

n

∥

FE

時(shí)EF⊥平面A₁BD，…（12分）
∵

EF

=(1，-y，2)，可得y=1…（13分）
∴存在唯一的一個(gè)點(diǎn)F（0，1，0），即AC中點(diǎn)滿足條件
綜上所述，存在線段AC的中點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題在三棱柱中求點(diǎn)到平面的距離、證明線面垂直并求二面角的大小．著重考查了直棱柱的性質(zhì)、利用空間向量的方法探索線面垂直和求面面角等知識(shí)，屬于中檔題．