Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，在第一象限中過拋物線上任意一點P的切線為l，過P點作平行于x軸的直線m，過焦點F作平行于l的直線交m于M，若|PM|=4，則點P的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：拋物線y²=4x的焦點為F （1，0），設(shè)點P （a，2），利用導(dǎo)數(shù)求出過點P的切線l的斜率，用點斜式求直線l的方程，把它與直線m的方程y=2 聯(lián)立方程組求得點M（2a+1，2），由|PM|=4求出a的值，即可得到點P的坐標(biāo)．
解答：解：拋物線y²=4x的焦點為F （1，0），設(shè)點P （a，2），
則過點P的切線l的斜率為函數(shù)y=2在x=a處的導(dǎo)數(shù)2×=，
故過焦點F作平行于l的直線方程為 y-0=（x-1），即 x-y-1=0 ①．
又直線m的方程為 y=2 ②．
把①②連聯(lián)立方程組解得點M（2a+1，2），由|PM|=4可得2a+1-a=4，a=3，故點P的坐標(biāo)為（3，2），
故答案為 ．
點評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，用點斜式求直線方程以及求兩直線的交點坐標(biāo)的方法，屬于中檔題．