Question

已知四棱錐P-ABCD的正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為4、腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，圖1、圖2分別是四棱錐P-ABCD的側(cè)視圖和俯視圖．求四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAB和PBC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：取CD的中點(diǎn)E，連接PE、AE．由三視圖的形狀并結(jié)合面面垂直、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，算出PE，PF，利用三角形全等，判斷三角形的形狀，可算出△PAB的面積，然后求解三角形PAC的面積．

解答： 解：依題意，可知點(diǎn)P在平面ABCD上的正射影是線(xiàn)段CD的中點(diǎn)E，連接PE，
則PE⊥平面ABCD．…（2分）
在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，
在Rt△PED中，PE=

PD2+DE2

=

5

，…（4分）
過(guò)E作E⊥AB，垂足為F，則F為AB中點(diǎn)，連接PF，…（5分）
在Rt△PEF中，PF=

PE2+EF2

=3，…（6分）
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴AE=BE
∴Rt△PAE≌Rt△PBE，∴PA=PB，
∵F為中點(diǎn)
∴AB⊥PF．…（8分）
∴△PAB的面積為S=

1

2

AB•PF=6．…（9分）
∵PE⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PE．
∵BC⊥CD，CD∩PE=C，
∴BC⊥平面PCD．…（11分）
∵PC?平面PCD，∴BC⊥PC
依題意得PC=3，BC=2．
∴△PBC的面積為S=

1

2

BC•PC=3．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三視圖，要求我們證明線(xiàn)線(xiàn)垂直并求側(cè)面三角形的面積，著重考查了三視圖求面積和面面垂直、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理等知識(shí)，屬于中檔題．