Question

在△ABC中，角A、B、C所對的對邊長分別為a、b、c；
（Ⅰ）設向量，向量，向量，若，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)兩個向量的坐標寫出兩個向量的和的坐標，根據(jù)向量平行的充要條件寫出關(guān)于三角形內(nèi)角的三角函數(shù)的關(guān)系式，在關(guān)系是兩邊同除以兩個角的余弦值的積，把弦化切，得到結(jié)果．
（Ⅱ）本題所給的條件是既有邊又有角，首先要統(tǒng)一為一種變量之間的關(guān)系，角化邊，利用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化，得到邊之間的有一個關(guān)系，和題目中所給的另一個關(guān)系進行變化，得到結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵向量，向量，
∴，
由，
得cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，
即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC
所以；
（Ⅱ）∵sinAcosC+3cosAsinC=0，
∴sinAcosC=-3cosAsinC，
把角之間的關(guān)系變化為邊之間的關(guān)系，
則由正弦定理及余弦定理有：，
化簡并整理得：a²-c²=2b²，
又由已知a²-c²=8b，
∴2b²=8b，
解得b=4或b=0（舍），
∴b=4．
點評：本題是一個三角函數(shù)同向量結(jié)合的問題，是以向量平行的充要條件為條件，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，是一道綜合題，在高考時可以出現(xiàn)，是一個近幾年�？嫉膯栴}．