Question

【題目】(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex, g(x)＝lnx.

(1)設(shè)f(x)在x1處的切線為l1, g(x)在x2處的切線為l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;

(2)若方程af 2(x)－f(x)－x＝0有兩個實根,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)0.

(2) 0<a<1.

(3) b≥ln2＋.

【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用l1//l2時k值相等，即可求出答案；

（2）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合即可得到答案；

（3）由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求導(dǎo)，因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再參變分離，分析討論即可.

詳解：(1) f′(x)＝ex, g′(x)＝

由題意知：＝

故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.

(2) 方程af 2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝

令φ(x)＝, 則φ′(x)＝－

當(dāng)x<0時，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)單調(diào)增；

當(dāng)x>0時，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)單調(diào)減.

從而φ(x)max＝φ(0)＝1

又，當(dāng)x>0時，φ(x)＝>0

原方程有兩個實根等價于直線y＝a與φ(x)的圖像有兩個交點，故0<a<1.

(3)由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)

因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立

由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立

即b≥lnx＋在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立

令t(x)＝lnx＋, t′(x)＝－＝

當(dāng)ln2≤x<1時，t′(x)<0，故t(x)單調(diào)減；

當(dāng)1≤x≤ln3時，t′(x)>0，故t(x)單調(diào)增.

下面只要比較t(ln2)與t(ln3)的大小.

思路：[詳細過程略]

先證明：x1+x2>2

又，ln2+ln3=ln6<2

故當(dāng)x1=ln2時，ln3< x2

即t(ln3)<t(ln2)

所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋

所以b≥ln2＋.