Question

如圖：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AC=BC=

1

2

AA₁=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)在BB₁上且DE=

6

．
（1）求證：AB₁∥平面DEC．
（2）求證：A₁E⊥平面DEC．

Answer 1

證明：（1）∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，BB₁∥AA₁，∴BB₁⊥底面ABC，∴BB₁⊥BD．
在Rt△ABC，∵∠ACB=90°，∴AB²=AC²+BC²=2²+2²=8，解得AB=2

2

．
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE²=BD²+BE²，∴(

6

)2=(

2

)2+BE2，解得BE=2．
∴BE=

1

2

BB1．
連接AB₁，則AB₁∥DE．
∵AB₁?平面DEC，DE?平面DEC，
∴AB₁∥平面DEC．
（2）∵A1D2=AA12+AD2=42+(

2

)2=18，A1E2=A1B12+B1E2=(2

2

)2+22=12，DE²=6，
∴A1D2=A1E2+DE2，
∴∠AE1D=90°．∴A₁E⊥ED．
在△ACB中，∵AC=CB，AD=DB，∴CD⊥AB，
∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，∴CD⊥側(cè)面AA₁B₁B．
∴CD⊥A₁E．
∵DE∩CD=D．∴A₁E⊥平面DEC．