Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，設(shè)b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

log2bn+3

（n∈N⁺），設(shè)T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若對(duì)一切n∈N⁺不等式4mT_n＞（n+2）c_n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

證明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+1．②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1．
所a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，
所以b_n=2b_n-1．
因?yàn)閍₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，
所以a₂=3a₁+1=4．
所以b₁=a₂-2a₁=2．
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，則c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

∴T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．
由4mT_n＞（n+2），得

mn

n+4

＞

n+2

n+3

．
即m＞

(n+4)(n+2)

n(n+3)

．
所以m＞

n2+6n+8

n2+3n

．
所以m＞1+

3n+8

n2+3n

=1+

3

n+3

+

8

n2+3n

．
設(shè)f（x）=1+

3

x+3

+

8

x2+3x

，x≥1．
可知f（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，又f（1）=

15

4

，
則當(dāng)n∈N時(shí)，有f（n）≤f（1）．
所以∴m＞

15

4

．
故當(dāng)m＞

15

4

．時(shí)，4mT_n＞（n+2）c_n恒成立．