Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)是F，定點(diǎn)A(

1

2

，1)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P在拋物線準(zhǔn)線上的射影為Q，根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PQ|，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PQ|的最小值．由平面幾何知識(shí)，可知當(dāng)P、Q、A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PQ|有最小值，由此即可算出|PA|+|PF|的最小值．

解答：解：由題意，拋物線y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，焦點(diǎn)是F（1，0）．
設(shè)P、A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為Q、B，連結(jié)PQ、AB．
根據(jù)拋物線的定義，可得|PF|=|PQ|，
∵|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，
∴當(dāng)|PA|+|PQ|取得最小值時(shí)，|PA|+|PF|有最小值．
由平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)P、Q、A三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P、Q在線段AB上時(shí)，
|PA|+|PQ|最小，最小值為

1

2

-（-1）=

3

2

．
因此，|PA|+|PF|的最小值是

3

2

．
故答案為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的方程，求拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P與A、F兩點(diǎn)距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．