Question

已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f(x)=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=0處取極值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得ln(x+1)-x2+

3

2

x-b=0．然后令φ(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，求出導函數，討論導函數的增減性，得到b的取值范圍；
（3）求出f′（x）=0時x的值，討論函數的增減性得到函數的最大值為f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，然后取x=

1

n

＞0，代入得到結論成立．

解答：解（1）f′(x)=

1

x+a

-2x-1，∵x=0時，f（x）取得極值，
∴f'（0）=0，
故

1

0+a

-2×0-1=0，解得a=1．經檢驗a=1符合題意．
（2）由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=-

5

2

x+b，得ln(x+1)-x2+

3

2

x-b=0．
令φ(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，
則f(x)=-

5

2

x+b在[0，2]上恰有兩個不同的實數根，
等價于φ（x）=0在[0，2]上恰有兩個不同實數根．φ′(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
當x∈（0，1）時，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上單調遞增；
當x∈（1，2）時，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上單調遞減；
依題意有

φ(0)=-b≤0

，∴ln3-1≤b＜ln2+

1

2

.
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域為{x|x＞-1}．
由（1）知f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

．令f′(x)=0時，x=0或x=-

3

2

（舍去），
∴當-1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（當且僅當x=0時，等號成立）．
對任意正整數n，取x=

1

n

＞0得，ln(

1

n

+1)＜

1

n

+

1

n2

，故ln

n+1

n

＜

n+1

n2

．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，注意函數與方程的綜合運用，以及會進行不等式的證明．