Question

（2011•揚州三模）某次考試共有8道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的；評分標準為：“每題只有一個選項是正確的，選對得5分，不選或選錯得0分．”某考生每道題都給出一個答案，已確定有5道題的答案是正確的，而其余3道題中，有一道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道題因不了解題意而亂猜，試求該考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）所得分數(shù)ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）某考生要得40分，必須全部8題做對，其余3題中，有一道做對的概率為

1

2

，有一道題目做對的概率為

1

3

，有一道做對的概率為

1

4

，由此能求出得40分的概率．
（Ⅱ）依題意，該考生得分的范圍為{25，30，35，40}．得25分的概率p1=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，得30分的概率p2=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，得35分的概率p3=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，得40分的概率p4=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）某考生要得40分，必須全部8題做對，其余3題中，有一道做對的概率為

1

2

，有一道題目做對的概率為

1

3

，有一道做對的概率為

1

4

，
所以得40分的概率為p=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．…4分
（Ⅱ）依題意，該考生得分的范圍為{25，30，35，40}．
得25分是指做對了5題，其余3題都做錯了，所以概率為p1=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，
得30分是指做對5題，其余3題只做對1題，所以概率為p2=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，
得35分是指做對5題，其余3題做對2題，所以概率為p3=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，
得40分是指做對8題，所以概率為p4=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．
得ξ的分布列為：

ξ	25	30	35	40
p	1 4	11 24	1 4	1 24

所以Eξ=25×

1

4

+30×

11

24

+40× 

1

24

=

730

24

=

365

12

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．