Question

（2011•濰坊二模）如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB與ND交于P點(diǎn)．
（I）在棱AB上找一點(diǎn)Q，使QP∥平面AMD，并給出證明；
（Ⅱ）求平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)Q為AB上的一點(diǎn)，滿足BQ=

1

3

AB．由線面平行的性質(zhì)證出MD∥NB，結(jié)合題中數(shù)據(jù)利用平行線的性質(zhì)，得到

QB

QA

=

BP

PM

，從而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用線面平行判定定理，證出QP∥平面AMD，說明在棱AB上存在滿足條件的點(diǎn)；
（II）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，算出向量

CM

、

CN

和

DC

的坐標(biāo)．利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，算出

m

=（1，-2，-2）為平面CMN的一個(gè)法向量．根據(jù)線面垂直的判定定理證出DC⊥平面BNC，從而得到

DC

=（0，2，0）是平面BNC的一個(gè)法向量，最后用空間向量的夾角公式加以計(jì)算，即可算出平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值．

解答：解：（I）當(dāng)AB上的點(diǎn)滿足BQ=

1

3

AB時(shí)，滿足QP∥平面AMD，
∵M(jìn)D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．
∴

BP

PM

=

NB

MD

=

1

2

，且

QB

QA

=

2 3

2- 2 3

=

1

2

，
∴

QB

QA

=

BP

PM

=

1

2

，在△MAB中，可得QP∥AM．
又∵QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一點(diǎn)Q，當(dāng)BQ=

1

3

AB時(shí)，有QP∥平面AMD；
（II）以DA、DC、DM所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1）
∴

CM

=（0，-2，2），

CN

=（2，0，1），

DC

=（0，2，0）
設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量為

m

=（x，y，z）
∴

m • CM  =-2y+2z=0 m • CN =2x+z=0

，取z=-2，得x=1，y=-2
由此可得

m

=（1，-2，-2）為平面CMN的一個(gè)法向量
∵NB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴NB⊥CD
又∵BC⊥CD，BC∩NB=B
∴DC⊥平面BNC，可得

DC

=（0，2，0）是平面BNC的一個(gè)法向量
∵cos＜

m

，

DC

＞=

m • DC

|m| • |DC|

=

4

3×2

=

2

3

∴平面BNC與平面MNC所成銳二面角的余弦值等于

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊多面體中，探索線面平行并求二面角的余弦值，著重考查了線面平行、垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．