Question

如圖，平面α⊥平面β，α∩β=l，DA?α，BC?α，且DA⊥l于A，BC⊥l于B，AD=4，BC=8，AB=6，點P是平面β內不在l上的一動點，記PD與平面β所成角為θ₁，PC與平面β所成角為θ₂．若θ₁=θ₂，則△PAB的面積的最大值是

12

．

Answer 1

分析：由題設條件知兩個直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形，根據題設條件可得出PB=2PA，作PM⊥AB，垂足為M，令AM=t，將三角形的面積用t表示出來，再研究面積的最值選出正確選項

解答：解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠ADP=∠BCP，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足為M，令AM=t，
在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，AM是公共邊及PB=2PA
∴PA2-t2=4PA2-（6-t）2PA²-t²=4PA²-（6-t）²
解得PA²=12-4t
∴PM=

12-4t-t2

∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12-4t-t2

=3

16-(t-2)2

≤12．
即三角形面積的最大值為12
故答案為：12．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，解答本題，關鍵是將由題設條件得出三角形的性質：兩鄰邊的值有2倍的關系，第三邊長度為6，引入一個變量，將面積表示成此變量的函數，從而利用函數的最值來研究面積的最值，本題考查了函數最值的思想，轉化的思想，數形結合的思想，本題解題過程中將幾何問題轉化為代數問題求解是幾何問題中求最值的常規(guī)思想，在近幾年的高考中此類題多有出現，本題易因為沒有能建立起面積的函數而導致解題失敗