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如圖,平面α⊥平面β,α∩β=l,DA?α,BC?α,且DA⊥l于A,BC⊥l于B,AD=4,BC=8,AB=6,點P是平面β內不在l上的一動點,記PD與平面β所成角為θ1,PC與平面β所成角為θ2.若θ12,則△PAB的面積的最大值是
12
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分析:由題設條件知兩個直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形,根據題設條件可得出PB=2PA,作PM⊥AB,垂足為M,令AM=t,將三角形的面積用t表示出來,再研究面積的最值選出正確選項
解答:解:由題意平面α⊥平面β,A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點,DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,
∴△PAD與△PBC是直角三角形,又∠ADP=∠BCP,
∴△PAD∽△PBC,又AD=4,BC=8,
∴PB=2PA
作PM⊥AB,垂足為M,令AM=t,
在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中,AM是公共邊及PB=2PA
∴PA2-t2=4PA2-(6-t)2PA2-t2=4PA2-(6-t)2
解得PA2=12-4t
∴PM=
12-4t-t2

∴S=
1
2
×AB×PM=
1
2
×6×
12-4t-t2
=3
16-(t-2)2
≤12.
即三角形面積的最大值為12
故答案為:12.
點評:本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題,解答本題,關鍵是將由題設條件得出三角形的性質:兩鄰邊的值有2倍的關系,第三邊長度為6,引入一個變量,將面積表示成此變量的函數,從而利用函數的最值來研究面積的最值,本題考查了函數最值的思想,轉化的思想,數形結合的思想,本題解題過程中將幾何問題轉化為代數問題求解是幾何問題中求最值的常規(guī)思想,在近幾年的高考中此類題多有出現,本題易因為沒有能建立起面積的函數而導致解題失敗
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知等腰△ABC的底邊BC=3,頂角為120°,D是BC邊上一點,且BD=1.把△ADC沿AD折起,使得平面CAD⊥平面ABD,連接BC形成三棱錐C-ABD.
(Ⅰ) ①求證:AC⊥平面ABD;②求三棱錐C-ABD的體積;
(Ⅱ) 求AC與平面BCD所成的角的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與平面α、β所成的角分別為
π
4
π
6
,過A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A′、B′,若AB=12,求A′B′的長度.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖(1)直線l∥AB,且與CA,CB分別相交于點E,F,EF與AB間的距離是d,點P是線段EF上任意一點,Q是線段AB上任意一點,則|PQ|的最小值等于d.類比上述結論我們可以得到:在圖(2)中,平面α∥平面ABC,且與DA,DB,DC分別相交于點E,F,G,平面α與平面ABC間的距離是m,
a,b分別是平面α與平面ABC內的任意一條直線,則a,b間距離的最小值是m.
或P,Q分別是平面α與平面ABC內的任意一點,則P,Q間距離的最小值是m.
a,b分別是平面α與平面ABC內的任意一條直線,則a,b間距離的最小值是m.
或P,Q分別是平面α與平面ABC內的任意一點,則P,Q間距離的最小值是m.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•威海二模)如圖1,在梯形ABCD中,BC∥DA,BE⊥DA,EA=EB=BC=2,DE=1,將四邊形DEBC沿BE折起,使平面DEBC垂直平面ABE,如圖2,連結AD,AC.設M是AB上的動點.
(Ⅰ)若M為AB中點,求證:ME∥平面ADC;
(Ⅱ)若AM=
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AB
,求三棱錐M-ADC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

如圖,平面平面,點E、F、O分別為線段PAPB、AC的中點,點G是線段CO的中點,

,

求證:   (Ⅰ)平面

(Ⅱ)∥平面

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