Question

設函數(shù)f（x）=x³+2ax²+bx+a的導數(shù)為f'（x），若函數(shù)y=f'（x）的圖象關于直線x=

4

3

對稱，且函數(shù)y=f'（x）有最小值x=-

1

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=x²-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=f'（x）的圖象關于直線x=

4

3

對稱，且函數(shù)y=f'（x）有最小值x=-

1

3

，可求出函數(shù)的解析式，從而可確定函數(shù)的單調性，進而可求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）確定f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2，構造函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），確定函數(shù)的單調性與極值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一個實根，構建不等式，從而可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導數(shù)，可得f′(x)=3x2+4ax+b=3(x+

2a

3

)2-

4a2

3

+b
∵函數(shù)y=f'（x）的圖象關于直線x=

4

3

對稱，且函數(shù)y=f'（x）有最小值x=-

1

3

．
∴-

2a

3

=

4

3

，且-

4a2

3

+b=-

1

3

，解得a=-2、b=5…（3分）
∴f（x）=x³-4x²+5x-2
∴f'（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴當x＜1或x＞

5

3

時，f'（x）＞0，故函數(shù)y=f（x）在（-∞，1]或[

5

3

，+∞)上單調遞增
當1＜x＜

5

3

時，f'（x）＜0，故函數(shù)y=f（x）在[1，

5

3

]上單調遞減
∴x=1時，函數(shù)y=f（x）取得極大值f（1）=1-4+5-2=0；
x=

5

3

時，函數(shù)y=f（x）取得極小值f(

5

3

)=(

5

3

)3-4(

5

3

)2+5×

5

3

-2=-

4

27

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-4x²+5x-2，∴f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），則h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函數(shù)h（x）在（-∞，-1]上單調遞增，在[-1，3]上單調遞減，在[3，+∞）上單調遞增
∴h（x）_極大值=h（-1）=3+m，h（x）_極小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一個實根
∴

3+m＞0 m-29＞0

或

3+m＜0 m-29＜0

，解得m＜-3或m＞29
∴m的取值范圍是（-∞，-3）∪（29，+∞）…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與極值，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，解題的關鍵是正確求導，確定函數(shù)的單調性．