已知函數(shù)f(x)=sin2
π
4
x-
3
sin
π
4
xcos
π
4
x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及此時x的值；
（Ⅱ）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．
分析：（Ⅰ）先化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）利用f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2，且函數(shù)的周期為4，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=sin2
π
4
x-
3
sin
π
4
xcos
π
4
x=
1-cos
π
2
x
2
-
3
2
sin
π
2
x=
1
2
-sin（
π
2
x+
π
6
）
∴
π
2
x+
π
6
=2kπ-
π
2
，即x=2k-
4
3
（k∈Z）時，f（x）的最大值
3
2
；
（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2，且函數(shù)的周期為4，2012=4×503
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2×503=1006．
點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時有x2∈S，給出下列四個結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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