Question

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別化簡函數(shù)f（x）解析式的前兩項，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關于x的方程，求出方程的解即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=0，把x=A代入第一問化簡后的函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)中求出A的度數(shù)，由已知的a小于b，根據(jù)三角形中大邊對大角得到A小于B，即A為銳角，進而得到滿足題意的A的度數(shù)，由A的度數(shù)求出sinA的值，再由a與b的值，利用正弦定理求出sinB的值，再利用特殊角的三角函數(shù)中求出B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，可得出sinC的值，由sinC，a與b的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

=

3

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

3

2

sin(2x+

π

3

)，…（2分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（4分）
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；…（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=0，
∴f（A）=

3

2

sin(2A+

π

3

)=0，
解得：A=

π

3

或A=

5

6

π，
又a＜b，∴A＜B，
故A=

π

3

，…（8分）又a=

3

，b=2，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=1，
∴B=

π

2

，
∴C=π-（A+B）=

π

6

，…（10分）
則△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

2

．…（12分）

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．