Question

己知

a

=（sin（θ-

π

4

），-1），

b

=（-1，3）其中θ∈（0，

π

2

），且

a

∥

b

．
（1）求sinθ的值；
（2）已知△ABC中，∠A=θ，BC=2

2

+1，求邊AC的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示,正弦定理

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線(xiàn)定理由

a

∥

b

，可得sin(θ-

π

4

)=

1

3

．由于θ∈（0，

π

2

），(θ-

π

4

)∈(-

π

4

，

π

4

)，即可得出cos(θ-

π

4

)．變形sinθ=sin(θ-

π

4

+

π

4

)．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得：

AC

sinB

=

BC

sinA

，代入可得AC=3

2

sinB，利用sinB≤1，即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴3sin(θ-

π

4

)=1，即sin(θ-

π

4

)=

1

3

．
∵θ∈（0，

π

2

），
∴(θ-

π

4

)∈(-

π

4

，

π

4

)．
∴cos(θ-

π

4

)=

2 2

3

．
∴sinθ=sin(θ-

π

4

+

π

4

)=sin(θ-

π

4

)cos

π

4

+cos(θ-

π

4

)sin

π

4

=

2

2

×(

1

3

+

2 2

3

)=

4+ 2

6

．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得：

AC

sinB

=

BC

sinA

，
∴

AC

sinB

=

2 2 +1

sinθ

=3

2

，
∴AC=3

2

sinB≤3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)sinB=1，即B=

π

2

時(shí)取等號(hào)，
∴邊AC的最大值是3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線(xiàn)定理、正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．