Question

如果集合A具以下性質(zhì)：
①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，則x-y∈A，且當(dāng)x≠0時(shí)，

1

x

∈A，則稱集合A是“差、倒運(yùn)算封閉集”．
（1）試判斷集合B={-1，0，1}是否為“差、倒運(yùn)算封閉集”，說(shuō)明理由．
（2）設(shè)集合是“差、倒運(yùn)算封閉集”，求證：
①若x，y∈A，則x+y∈A；
②若x∈A，且x（x-1）≠0，則

1

x(x-1)

∈A．
（3）若集合M是一個(gè)“差、倒運(yùn)算封閉集”，試判斷下面命題：“若x，y∈M”，則xy∈M“的真假，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計(jì)算題,集合

分析：由差、倒運(yùn)算封閉集知，
（1）-1-1=-2∉B，故不是；
（2）利用差、倒運(yùn)算封閉集的定義證明；
（3）由x（x-1）+x∈M，即x²∈M．同理可得y²∈M；從而得到2xy=（x+y）²-x²-y²∈M，從而得到

1

2xy

∈M，從而判斷．

解答： 解：（1）∵-1-1=-2∉B，∴集合B={-1，0，1}不是“差、倒運(yùn)算封閉集”，
（2）證明：①∵集合A是“差、倒運(yùn)算封閉集”，
∴0-y=-y∈A，
故x-（-y）=x+y∈A；
②∵x∈A，∴x-1∈A，
∴x（x-1）∈A，又∵x（x-1）≠0，
∴

1

x(x-1)

∈A；
（3）x（x-1）+x∈M，即x²∈M．同理可得y²∈M．
若x+y=0或x+y=1，則顯然（x+y）²∈M．
若x+y≠0且x+y≠1，則（x+y）²∈M．
∴2xy=（x+y）²-x²-y²∈M．
∴

1

2xy

∈M．

1

xy

=

1

2xy

+

1

2xy

∈M．
∴xy∈M．
故命題為真命題．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算的定義及學(xué)生對(duì)新定義的接受能力，屬于基礎(chǔ)題．