Question

16．（1）已知命題p：關(guān)于x的方程x²-ax+4=0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)，若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知命題p：（4x-3）²≤1；命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，則p、q兩命題一真一假，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若p：關(guān)于x的方程x²-ax+4=0有實(shí)根為真，
則△=a²-16≥0，
解得：a≤-4或a≥4．
若q關(guān)于x的函數(shù)y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)為真，
則-$\frac{a}{4}≤3$，
∴a≥-12．
由“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，p、q兩命題一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)：a＜-12；當(dāng)p假q真時(shí)：-4＜a＜4，
綜上，a的取值范圍為（-∞，-12）∪（-4，4）．
（2）解（4x-3）²≤1得：$\frac{1}{2}$≤x≤1，
解x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0得：a≤x≤a+1，
若￢p是￢q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ a+1≥1\end{array}\right.$，解得：a∈[0，$\frac{1}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，充要條件，方程根的個(gè)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．