Question

1．已知以點C為圓心的圓經(jīng)過點A（0，1）和B（4，3），且圓心在直線3x+y-15=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求圓C的方程；
（Ⅱ）求出|AB|，P到AB距離的最大值為d+r，即可求△PAB的面積的最大值

解答 解：（Ⅰ）設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
依題意得；$\left\{\begin{array}{l}1-E+F=0\\ 25+4D+3E+F=0\\ 3（-\frac{D}{2}）-（-\frac{E}{2}）-15=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=-12\\ E=6\\ F=5\end{array}\right.$，
∴所求圓的方程是x²+y²-12x+6y+5=0，
（Ⅱ）∵|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
由已知知直線AB的方程為x-y-1=0，
所以圓心C（6，-3）到AB的距離為d=4$\sqrt{2}$，…（9分）
P到AB距離的最大值為d+r=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{10}$，…（11分）
所以△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$×（4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{10}$）=$16+8\sqrt{5}$…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查三角形面積的計算，考查系數(shù)分析解決問題的能力，難度中檔．