Question

漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為m，為了保證魚群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量，已知魚群的年增長(zhǎng)量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）
（I）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求魚群年增長(zhǎng)量的最大值．

Answer 1

分析：（I）由魚群的年增長(zhǎng)量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）．我們根據(jù)題意求出空閑率，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（II）由（I）中給出的y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，我們使用配方法，易分析出魚群年增長(zhǎng)量的最大值．

解答：解：（I）由題意，空閑率為 1-

x

m

，
∴y=kx（1-

x

m

），定義域?yàn)椋?，m）；
（II）由（1）得y=-

k

m

x2+kx=-

k

m

(x-

m

2

)2+

mk

4

，
因?yàn)?x∈（0，m），k＞0；
∴x=

m

2

時(shí)，ymax=

mk

4

．
故魚群年增長(zhǎng)量的最大值為

mk

4

．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解模→還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑�(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見的思路之一．