Question

【題目】已知函數(shù)，.

（I）討論的單調(diào)性；

（II）若恒成立，證明：當(dāng)時(shí)，.

（III）在（II）的條件下，證明：.

Answer 1

【答案】I.見(jiàn)解析；Ⅱ.見(jiàn)解析；III 見(jiàn)解析.

【解析】

I：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)性；Ⅱ：通過(guò)分類討論可得到a=1，根據(jù)，得到：，進(jìn)而得到結(jié)果; III:通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而得到：，由Ⅱ知兩式相乘得到結(jié)果.

I.

若，f（x）在上遞增；

若a>0，當(dāng)時(shí)，，f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。

Ⅱ.由I知，若a≤0，f（x）在（0，+）上遞增，又f（l）=0，故f（x）≤0不恒成立

若a>1，當(dāng)時(shí)，f（x）遞減，f（x）>f（1）=0，不合題意。

若0<a<1，當(dāng)時(shí)，f（x）遞增，f（x）>f（l）=0.不合題意。

若a=1.f（x）在（0，1）上遞增.在（1，+）上遞減，f（x）≤f(1)=0，合題意。

故a=1，且（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取 “=”）

當(dāng)0<x1<x2時(shí)，

所以

III.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，g（x）單調(diào)遞減。

①

由（Ⅱ）知（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取 “=”）........... ②

兩個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)取到，故得到：

①②得

即,