Question

某工廠師徒二人各加工相同型號(hào)的零件2個(gè)，是否加工出精品均互不影響．已知師父加工一個(gè)零件是精品的概率為

2

3

，師徒二人各加工2個(gè)零件都是精品的概率為

1

9

．
（Ⅰ）求徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父的概率；
（Ⅱ）設(shè)師徒二人加工出的4個(gè)零件中精品個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出徒弟加工一個(gè)零件為精品的概率，寫出分布列，徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率得到結(jié)果；
（Ⅱ）由題意知師徒二人加工出的4個(gè)零件中精品個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的可能取值是為0，1，2，3，4，對(duì)應(yīng)于變量的事件做出概率，即可寫出分布列和期望．

解答：解：設(shè)徒弟加工一個(gè)零件為精品的概率為P，則

2

3

×

2

3

P2=

1

9

，∴P=

1

2

師父加工兩個(gè)零件中，精品個(gè)數(shù)的分布列為

ξ1	0	1	2
概率	1 9	4 9	4 9

徒弟加工兩個(gè)零件中，精品個(gè)數(shù)的分布列為

ξ2	0	1	2
概率	1 4	1 2	1 4

（1）設(shè)徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父的概率為P₁．則P1=

1

9

×

2

4

+

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

4

=

7

36

．
（2）P（ξ=0）=

1

4

×

1

9

=

1

36

，
P（ξ=1）=

1

9

×

2

4

+

1

4

×

4

9

=

6

36

P（ξ=2）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

=

13

36

P（ξ=3）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

=

12

36

P（ξ=4）=

4

9

×

1

4

=

4

36

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
概率	1 36	6 36	13 36	12 36	4 36

∴ξ的期望Eξ為Eξ=0×

1

36

+1×

6

36

+2×

13

36

+3×

12

36

+4×

4

36

=

7

3

．
答：（1）徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父的概率為P₁=

7

36

；（2）ξ的期望Eξ=

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件的概率，考查互斥事件的概率，屬于中檔題．