已知函數(shù)f（x）=lg數(shù)學公式．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調性，并證明．
（3）求證：f（a）+f（b）=f（數(shù)學公式）
（4）若f（數(shù)學公式）=1，f（數(shù)學公式）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．

解：（1）∵＞0
∴-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域（-1，1）
∵定義域關于原點對稱
f（-x）=1g=lg=-f（x）故f（x）為奇函數(shù)
（2）任取區(qū)間（0，1）上的兩個實數(shù)，a，b且a＜b
則f（a）-f（b）===＞0
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
（3）∵f（a）+f（b）=lg+1g=1g
又∵f（）=1g=1g，
∴f（a）+f（b）=f（）
（4）∵f（a）+f（b）=f（）
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f（），
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=，f（b）=-．
分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若對稱再判斷f（-x）與f（x）的關系，易判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）利用定義法（作差法），任取區(qū)間（0，1）上的兩個實數(shù)，a，b且a＜b，然后判斷f（a）與f（b）的大小，結合函數(shù)單調性的定義即可得到結論；
（3）根據(jù)函數(shù)解析式，及對數(shù)的運算性質，分別計算出f（a）+f（b）與f（）的值，即可得到結論；
（4）根據(jù)f（）=1，f（）=2結合（3）的結論，我們易構造一個關于f（a）與f（b）的方程組，解方程組即可得到結論．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性判斷，函數(shù)的單調性證明，對數(shù)的運算性質，抽象函數(shù)求值，熟練掌握函數(shù)性質的定義是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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