Question

4．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}={a_n}•{2^{2{a_n}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項，可得$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，利用遞推關系與等差數列的通項公式即可得出．
（II）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項，∴$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，
又$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}（n≥2）$，
兩式相減并化簡得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故數列{a_n}是公差為1的等差數列．
當n=1時，$2{a_1}=2{S_1}={a_1}^2+{a_1}$，又a₁＞0，∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）由（I）知b_n=n•2²ⁿ=n•4ⁿ，∴T_n=1•4¹+2•4²+…+n•4ⁿ，
∴4T_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-3T_n=4¹+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4（1-4n）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}$×4ⁿ⁺¹-$\frac{4}{3}$．
∴T_n=$\frac{3n-1}{9}$×4ⁿ⁺¹+$\frac{4}{9}$=$\frac{4+（3n-1）4n+1}{9}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．