【題目】已知, 為拋物線上的兩個動點(diǎn),其中,且

(1)求證:線段的垂直平分線恒過定點(diǎn),并求出點(diǎn)坐標(biāo);

(2)求面積的最大值.

【答案】(1)恒過定點(diǎn);(2)面積的最大值.

【解析】試題分析:(1)由拋物線的對稱性可知定點(diǎn)一定在軸上,設(shè),由,可得,所以恒過定點(diǎn);(2)直線方程: ,代入

,根據(jù)根據(jù)韋達(dá)定理,弦長公式將面積用表示,換元后,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可得結(jié)果.

試題解析:(1)由拋物線的對稱性可知定點(diǎn)一定在軸上,設(shè),

設(shè)中點(diǎn)為

,

,可得,所以恒過定點(diǎn);

(2)直線方程: ,代入

由韋達(dá)定理知

點(diǎn)到直線的距離:

,因?yàn)?/span>,所以

,

可知, , 為增函數(shù);

, 為減函數(shù).

所以: ,

所以面積的最大值

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系以及曲線過定點(diǎn)問題,屬于難題.解決曲線過定點(diǎn)問題一般有兩種方法:① 探索曲線過定點(diǎn)時,可設(shè)出曲線方程 ,然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于曲線系的思想找出定點(diǎn),或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).② 從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無關(guān).

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【題目】不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<1或x>3},則不等式cx2﹣bx+a<0的解集為

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【題目】已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),直線AF的斜率為 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.

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【題目】如圖,已知線段AB長度為a(a為定值),在其上任意選取一點(diǎn)M,在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF,⊙P和⊙Q是這兩個正方形的外接圓,它們交于點(diǎn)M、N.試以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.

(1)證明:不論點(diǎn)M如何選取,直線MN都通過一定點(diǎn)S;
(2)當(dāng) 時,過A作⊙Q的割線,交⊙Q于G、H兩點(diǎn),在線段GH上取一點(diǎn)K,使 = 求點(diǎn)K的軌跡.

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【題目】設(shè){an}為單調(diào)遞增數(shù)列,首項(xiàng)a1=4,且滿足an+12+an2+16=8(an+1+an)+2an+1an , n∈N* , 則a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n1﹣a2n=(
A.﹣2n(2n﹣1)
B.﹣3n(n+3)
C.﹣4n(2n+1)
D.﹣6n(n+1)

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【題目】已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{an}滿足:a1= ,an+1= (an+ ),(n∈N*),bn=log5
(1)證明{bn}為等比數(shù)列,并求{bn}通項(xiàng)公式;
(2)若cn= ,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn<6.

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【題目】以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)A,B為兩個定點(diǎn),K為非零常數(shù),若|PA|﹣|PB|=K,則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.
②方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線 與橢圓 +y2=1有相同的焦點(diǎn).
④已知拋物線y2=2px,以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線相切
其中真命題為(寫出所以真命題的序號)

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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,傾斜角為的直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), 的面積為.

(1)求;

(2)設(shè)點(diǎn)為直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn),過點(diǎn)的斜率分別為的兩條弦,如果,證明直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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