Question

甲有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)黃球，z個(gè)白球的箱子，乙有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)白球的箱子，
（1）兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)甲勝，異色時(shí)乙勝，若x+y+z=6（x，y，z∈N）用x、y、z表示甲勝的概率；
（2）在（1）下又規(guī)定當(dāng)甲取紅、黃、白球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，求甲得分的期望的最大值及此時(shí)x、y、z的值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲勝分為三個(gè)基本事件：①A₁：“A、B均取紅球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黃球”．由此能求出用x、y、z表示甲勝的概率．
（2）設(shè)甲的得分為隨機(jī)變量ξ，則P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

；P（ξ=2）=

y

6

×

1

3

=

y

18

；P（ξ=1）=

x

6

×

1

2

=

x

12

；P（ξ=0）=1-

3x+2y+z

36

，由此能求出甲得分的期望的最大值及此時(shí)x，y，z的值．

解答： 解：（1）顯然甲勝與乙勝為對(duì)立事件，
甲勝分為三個(gè)基本事件：
①A₁：“A、B均取紅球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黃球”．
∵P（A₁）=

x

6

×

1

2

，P（A₂）=

y

6

×

1

3

，P（A₃）=

z

6

×

1

6

，
∴P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3x+2y+z

36

；
（2）設(shè)甲的得分為隨機(jī)變量ξ，
則P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

=

z

36

；
P（ξ=2）=

y

6

×

1

3

=

y

18

；
P（ξ=1）=

x

6

×

1

2

=

x

12

；
P（ξ=0）=1-

3x+2y+z

36

，
∴Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

1

2

+

y

36

，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6時(shí)，
Eξ取得最大值為

2

3

，
此時(shí)x=z=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意概率性質(zhì)和古典概型的特征的靈活運(yùn)用．