Question

某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測上市初期和廂期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①f（x）=p．q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞l）．
（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)（不必說明理由）；
（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式（注：函數(shù)定義域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=l表示9月1日，…，以此類推）；
（3）在（2）的條件下研究下面課題：為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣�府�?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請你預(yù)測該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用價(jià)格呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢，故可從三個(gè)函數(shù)的單調(diào)上考慮，前面兩個(gè)函數(shù)沒有出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，應(yīng)選f（x）=x（x-q）²+p為其模擬函數(shù)；
（2）由題中條件：f（0）=4，f（2）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式；
（3）確定函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)小于0，即可預(yù)測該果品在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=pq^x是單調(diào)函數(shù)，f（x）=px²+qx+1，只有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，不符合題設(shè)中的價(jià)格變化規(guī)律
在f（x）=x（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=

q

3

，即f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，符合題設(shè)中的價(jià)格變化規(guī)律，所以應(yīng)選f（x）=x（x-q）²+p為價(jià)格模擬函數(shù)；
（2）由f（0）=4，f（2）=6，得

p=4 2(2-q)2+p=6 q＞1

，∴p=4，q=3
（3）f（x）=x³-6x²+9x+4（0≤x≤5，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9＜0得：1＜x＜3，
由題意可預(yù)測該果品在9、10月份內(nèi)價(jià)格下跌．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的確定，考查函數(shù)解析式，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．