Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足：，且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（1），所以，，又∵a_n＞0，所以.，所以 ，所以．
（2）猜想．
證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知成立．2°假設(shè)n=k（k∈N₊）時(shí)，成立=．
所以所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
綜上可知，猜想對(duì)一切n∈N₊都成立．
分析：（1）利用求出a₁，由．求得a₂，同理求得 a₃．
（2）猜想，n∈N₊，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可解出 ，故n=k+1時(shí)，猜想仍然成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立，必須用上假設(shè)．