Question

.如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC, D、E分別為AA₁、B₁C的中點，DE⊥平面BCC₁

（Ⅰ）證明：AB=AC; 

（Ⅱ）設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B₁C與平面BCD所成的角的大小.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。

 

連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。------5’

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足為G，連接CG�？勺CCG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，∠AGC=60^0..----------2’

    設(shè)AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。

因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

連接AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。--------2’

連接CH，則∠ECH為與平面BCD所成的角。

因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即與平面BCD所成的角為30⁰.----------2’

 

【解析】略