Question

三棱錐S-ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=

13

，SB=

29

．
（1）證明：SC⊥BC；
（2）求三棱錐的體積V_S-ABC．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镾A⊥面ABC，AC為SC在面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理可直接得證．
（2）由題意可直接找出側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．

解答：解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥平面ABC，∴AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，
又∵BC⊥AC，由三重線定理得：SC⊥BC
（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=

13

，∴AB=

4+13

=

17

，
∵SA⊥AB，∴△SAB為Rt△，SB=

29

，∴SA=

29-17

=2

3

，
∵SA⊥平面ABC，∴SA為棱錐的高，
∴V_S-ABC=

1

3

×

1

2

×AC×BC×SA=

1

6

×2×

13

×2

3

=

2 39

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三垂線定理的應(yīng)用，考查了棱錐的體積計(jì)算及學(xué)生的推理論證能力，計(jì)算能力；三垂線定理也可看作是線線垂直的判定定理，是證明異面直線垂直的常用方法．