Question

已知方向向量為

V

=(1，

3

)的直線l過橢圓C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2

3

），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為4

6

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F₁且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

≠0（O坐標(biāo)原點），求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）l：y=

3

x-2

3

，直線l與x軸交點即為橢圓的右焦點F₂（2，0），故c=2，由已知△F₁AB周長為4

6

，知a=

6

，由此能求出橢圓方程．
（2）橢圓的左焦點為F₁（-2，0），則直線m的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

12k2

3k2+1

，x1•x2=

12k2-6

3k2+1

，由此能求出m的方程．

解答：解：（1）l：y=

3

x-2

3

，
直線l與x軸交點即為橢圓的右焦點F₂（2，0），
∴c=2，
由已知△F₁AB周長為4

6

，
則4a=4

6

，即a=

6

，
∴b=

6-4

=

2

，
故橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）橢圓的左焦點為F₁（-2，0），則直線m的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

12k2

3k2+1

，x1•x2=

12k2-6

3k2+1

，
∵

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

=

4 6 cos∠MON

3sin∠MON

=|

OM

|•|

ON

|cos∠MON≠0，
∴|

OM

|•|

ON

|sib∠MON=

4

3

6

，即S△OMN=

2

3

6

，
∵|MN|=

1+k2

•|x1-x2|=

2 6 (1+k2)

3k2+1

，
原點O到m的距離d=

|2k|

1+k2

，
則S△OMN=

1

2

|MN|d=

2 6 (1+k2)

3k2+1

•

|2k|

1+k2

=

2

3

6

，
解得k=±

3

3

，
∴m的方程為y=±

3

3

(x+2)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．