Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），A（0，a），B（-b，0），且|AB|=5，S_△OAB=6，直線l：x=my+n與橢圓C相交于C、D兩點(diǎn)，P為橢圓的右頂點(diǎn)（P與C、D不重合），PC⊥PD．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試判斷直線l與x軸是否交于定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不是說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a2+b2=25 1 2 ab=6 a＞b＞0

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

x=my+n y2 16 + x2 9 =1

，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l與x軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-

21

25

，0）．

解答： 解：（1）由已知得

a2+b2=25 1 2 ab=6 a＞b＞0

，
解得a=4，b=3．…（4分）
∴橢圓C的方程為

y2

16

+

y2

9

=1．…（5分）
（2）由（1）知，P（3，0），設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x=my+n y2 16 + x2 9 =1

，消去x并整理，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，
∴y₁+y₂=-

32mn

16m2+9

，y₁y₂=

16n2-144

16m2+9

．…（8分）
∵PC⊥PD，∴

PC

•

PD

=0，即（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0，
∴（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（10分）
又∵x₁=my₁+n，x₂=my₂+n，∴（my₁+n-3）（my₂+n-3）+y₁y₂=0，
即（m²+1）y₁y₂+m（n-3）（y₁+y₂）+（n-3）²=0，
∴（m²+1）

16n2-144

16m2+9

-m（n-3）×

32mn

16m2+9

+（n-3）²=0，
由于P、C、D不重合，∴n≠3．
∴16（m²+1）（n+3）-32m²n+（16m²+9）（n-3）=0．…（12分）
即25n+21=0，∴n=-

21

25

．
∴直線l與x軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-

21

25

，0）．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與x軸是否有交點(diǎn)的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．