Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓左頂點作直線l，若動點M到橢圓右焦點的距離比它到直線l的距離小4，求點M的軌跡方程.

Answer 1

【解】（Ⅰ）設橢圓的半長軸長為a，半短軸長為b，半焦距為c.

   由已知，2a＝12，所以a＝6.   又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.   

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.             

   因為橢圓的焦點在x軸上，故橢圓的標準方程是.  

（Ⅱ）法一：因為a＝6，所以直線l的方程為x＝－6，又c＝2，所以右焦點為F₂(2，0).

過點M作直線l的垂線，垂足為H，由題設，|MF₂|＝|MH|－4.

   設點M(x，y)，則. 

兩邊平方，得，即y²＝8x.    故點M的軌跡方程是y²＝8x.                                            

   法二：因為a＝6，c＝2，所以a－c＝4，從而橢圓左焦點F₁到直線l的距離為4. 

由題設，動點M到橢圓右焦點的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以點M的軌跡是以右焦點為F₂(2，0)為焦點，直線x＝－2為準線的拋物線.         

顯然拋物線的頂點在坐標原點，且p＝|F₁F₂|＝4，故點M的軌跡方程是y²＝8x