如圖，半徑為30cm的
1
4
圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A、C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），設(shè)OB與矩形材料的邊OA的夾角為θ，圓柱的體積為Vcm3；
（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求圓柱形罐子體積V的最大值．
考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）
專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）求出圓柱底面半徑，再求體積，即可求V關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）換元，利用基本不等式，即可求圓柱形罐子體積V的最大值．
解答： 解：（1）在Rt△OAB中，OA=30cosθ，AB=30sinθ
設(shè)圓柱底面半徑為r，則30cosθ=2πr
即4π2r2=900cos2θ，
∴V=πr2•AB=
6750
π
cos2θsinθ．其中0＜θ＜90°．
（2）令sinθ=t（0＜t＜1），則cos2θsinθ=t（1-t2）
∵t2（1-t2）2=
1
2
×2t2（1-t2）（1-t2）≤
1
2
×(
2
3
)3
當(dāng)且僅當(dāng)2t2=1-t2，即t=
3
3
時，圓柱形罐子體積V的最大值
1500
3
π
．
點(diǎn)評：熟練掌握圓柱的體積計算公式、利用基本不等式求最值等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知球O的表面積為16π，若在球O內(nèi)有兩個相外切的球，并且這兩個球都與球O相切，若這三個球的球心共線，則球O內(nèi)的這兩個球的表面積之和的最小值為（　�。�
A、8πB、6πC、4πD、2π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．點(diǎn)P、H分別是線段VC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AV∥平面PBD；   
（Ⅱ）求證：VH⊥面ABCD
（Ⅲ）求三棱錐C-PBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）已知函數(shù)f（x）=ex，g（x）=kx（k∈R）
（Ⅰ）若k=e2，試確定函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0，對于任意的x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m=2時，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n≥2，n∈N*時，log2e+log3e+log4e+…+logne＞
3n2-n-2
2n(n+1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinθ=
3
5
，求tanθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，cosx），
b
=（1，siny），
c
=（4，1），且（
a
+
b
）∥
c

（1）若x=
π
2
，求|
b
|；
（2）求
b
•
c
-
a
2的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（2x-k•2-x）log2|x|+
1
2x
，f（2）=4．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若F（x）=f（x）+2且F（m）=10（m≠0），求F（-m）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲乙兩人相約10天之內(nèi)在某地會面，約定先到的人等候另一人3天后方可離開，若他們在期限內(nèi)到達(dá)目的地是等可能的，則此二人會面的概率是多少？

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同步練習(xí)冊答案