Question

函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有如下命題：
（1）函數(shù)y=（x）圖象關(guān)于y軸對稱
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）是增函數(shù)，x＜0時，f（x）是減函數(shù)
（3）函數(shù)f（x）的最小值是lg2
（4）當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時，f（x）是增函數(shù)，其中正確命題的序號

①③④

．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=f（x）可判斷（1）的正確與否；
（2）令g(x)=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，則x＞0時，g(x)=x+

1

x

利用其單調(diào)性可判斷（2）的正誤；
（3由g(x)=

x2+1

|x|

的最小值可判斷③；
（4）利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷④的正誤．

解答：解：（1）∵f（-x）=f（x）∴可（1）正確；
（2）令g(x)=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，則x＞0時，g(x)=x+

1

x

，又g(x)=x+

1

x

先減后增，故（2）錯誤；
（3）∵g（x）_min=2，∴函數(shù)f（x）的最小值是lg2，故（3）正確；
（4）∵令g(x)=

x2+1

|x|

在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴f(x)=lg

x2+1

|x|

在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，又f(x)=lg

x2+1

|x|

為偶函數(shù)，∴f(x)=lg

x2+1

|x|

在（-1，0）或（1，+∞）單調(diào)遞增；故（4）正確；
故正確答案為：①③④．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，難點在于對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的分析，屬于中檔題．