Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且滿足f(x)=-f(x+

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)，f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2015）的值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、-1
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f(x)=-f(x+

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)，可以確定函數(shù)f（x）的周期為3，再根據(jù)定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知f（x）為偶函數(shù)，從而利用周期性和奇偶性即可求得f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

解答： 解：∵f(x)=-f(x+

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)，即f（x+

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）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+

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）=f（x），
故函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且周期為3，
∵f（0）=-2，f（-1）=1，
∴f（3）=f（0）=-2，f（2）=f（3-1）=f（-1）=1，
∵定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴f（x）為R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），且f（-1）=1，
故f（1）=f（-1）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，
根據(jù)函數(shù)f（x）的周期為3，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=671×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）=671×0+1+1=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是尋找到函數(shù)f（x）的周期為3，利用周期性將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單數(shù)值的求解．屬于中檔題．