Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

1

2

，且f（

1

2

）=0，當(dāng)x＞

1

2

時，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令y=x=

1

2

即可求得f（1）的值；
（2）由當(dāng)x＞

1

2

時，f（x）＞0，結(jié)合給出的等式得到當(dāng)x＞0時，f（x）＞-1，然后利用函數(shù)單調(diào)性定義，借助于題目給出的等式判斷．

解答：解：（1）由對任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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，且f（

1

2

）=0，
令y=x=

1

2

，得f（1）=f（

1

2

）+f（

1

2

）+

1

2

=

1

2

；
（2）設(shè)x＞0 則x+

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2

＞

1

2

．
∴f(x+

1

2

)=f(x)+f(

1

2

)+1＞0
即f（x）＞-1
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂
則x₁-x₂＞0
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，考查了利用特值法求函數(shù)的值，這類問題用賦值法和性質(zhì)的定義比較常見，屬于中檔題．