Question

已知等差數(shù)列{a_n}，a₂=8，前9項(xiàng)和為153．
（Ⅰ）求a₅和a_n；
（Ⅱ）若bn=2an，證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）若從數(shù)列{a_n}中，依次取出第二項(xiàng)，第四項(xiàng)，第八項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)，按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n

Answer 1

分析：（1）根據(jù)前9項(xiàng)和為153和第五項(xiàng)是前9項(xiàng)的等差中項(xiàng)，得到第五項(xiàng)的值，根據(jù)第二項(xiàng)和第五項(xiàng)的值列出方程求得首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式．
（2）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，只要相鄰兩項(xiàng)之比是常數(shù)即可，兩項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)得到結(jié)論．
（3）依次取出原數(shù)列的第二項(xiàng)，第四項(xiàng)，第八項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)，按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，則組成一個(gè)等比數(shù)列，看出首項(xiàng)和公比，代入公式求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則S9=

9(a1+a9)

2

=153，
∴

9×2a5

2

=153.
∴a₅=17．
∵

a2=a1+d=8 a5=a1+4d=17.

，∴

a1=5 d=3.

∴a_n=3n+2．
（Ⅱ）

bn+1

bn

=

23(n+1)+2

23n+2

=23=8.
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為32，公比為8的等比數(shù)列．
（Ⅲ）Tn=a2+a4+a8++a2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3×

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位．高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏．這是一個(gè)中檔題目，高考時(shí)能出現(xiàn)在前三個(gè)題的位置．