【題目】已知函數(shù)，其中， ， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，證明： .

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況分類討論：當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)1；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)相同的零點(diǎn)；當(dāng)及時(shí)，兩個(gè)不同的零點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定單調(diào)性，（2）先等價(jià)轉(zhuǎn)化所證不等式： ①且②，然后分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值： 的最小值為 ， 的最小值為

試題解析：（Ⅰ）

（1）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)， ；當(dāng)， ；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，令，得，

由得，由得或，

所以在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)時(shí)，令， ，故在上遞增.

（4）當(dāng)時(shí)，令，得，

由得，由得或，

所以在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， 在上遞增.

當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ） ①且②

先證①：令，則，

當(dāng)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)， ， 單調(diào)遞增；

所以 ，故①成立！

再證②：由（Ⅰ），當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以 ，故②成立！

綜上， 恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知數(shù)列中， ，數(shù)列滿足.

（1）求證:數(shù)列是等差數(shù)列，寫出的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).

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(Ⅰ)求曲線長度；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面APB的距離；

(Ⅲ)證明：不存在，使得二面角的大小為．

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【題目】若奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（﹣3）=0，則不等式f（x）＜0的解集為（ ）
A.（﹣3，0）∪（3，+∞）
B.（﹣3，0）∪（0，3）
C.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
D.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為， .求：

（1）tan(α＋β)的值；

（2）α＋2β的大小．

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【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍.

（2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明

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【題目】如圖， 中， 是的中點(diǎn)， ，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝( )．

A. 2n－1 B. n－1 C. n－1 D.

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