Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx+

1

2

ax2-（2a+1）x（a＞0）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在（0，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，然后判斷f′（x）的符號即可．
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分①

1

a

≥2與②0＜

1

a

＜2兩種情況，分析函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性，可得答案．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

2

x

+ax-(2a+1)=

ax2-(2a+1)x+2

x

，
當a=1時，f′(x)=

x2-3x+2

x

，由f′（x）＞0得x＞2或0＜x＜1，由f′（x）＜0得1＜x＜2，
所以增區(qū)間為（0，1）與（2，+∞），減區(qū)間為（1，2）．
（2）由f′（x）=0得x=2或x=

1

a

，
①當

1

a

≥2時，即0＜a≤

1

2

時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2，
②當0＜

1

a

＜2時，即a＞

1

2

時，f（x）在(0，

1

a

]上單調(diào)遞增，在(

1

a

，2]上單調(diào)遞減，f(x)max=f(

1

a

)=2ln

1

a

-

1

2a

-2，

綜上所述得f(x)max=

2ln2-2a-2，0＜a≤ 1 2 2ln 1 a - 1 2a -2，a＞ 1 2

．

點評：本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．