Question

若|x+a|-|x-4|≤5-|a+1|（x∈R）恒成立．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：利用絕對值三角不等式求出f（x）的最大值，可得f（x）的最大值小于或等于5-|a+1|，解絕對值不等式，求得a的范圍．

解答： 解：因為f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，須使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，∴

-2a-5≤5 a＜-4

 ①，或

3≤5 -4≤a＜-1

②，或

2a+5≤5 a≥-1

③．
解①求得-5≤a＜-4，解②求得-4≤a＜-1，解③求得-1≤a≤0，
綜合可得a的范圍是[-5，0]．

點評：本題主要考查帶由絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立問題的應用，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔