Question

已知f （x）=2cos² x+2

3

sin xcos x+a （a為常數）．
（1）求f （x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若f （x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化簡函數f（x）為一個角一個函數的形式，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出x的范圍寫出區(qū)間形式即得到f （x）的單調遞增區(qū)間；
（2）根據x∈[-

π

6

，

π

6

]求出整體角的范利用三角函數的單調性求出函數的最值，根據題意列出方程進一步求出a的范圍．

解答：解：（1）f （x）=2cos²x+2

3

sin xcosx+a
=2cos²x-1+2

3

sin xcosx+a+1
=2cos2x+

3

sin 2x+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f （x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）     （6分）
（2）因為x∈[-

π

6

，

π

6

]
所以2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]
所以-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
所以-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
所以a≤2sin（2x+

π

6

）≤a+3，
∴f （x）_min+f （x）_max=a+a+3=3，
∴a=0．（12分）

點評：本題考查求三角函數的性質問題應該先根據三角函數的公式化簡三角函數為只含一個角一個函數名的形式，然后利用整體角處理，屬于中檔題．