設函數(shù)f(t)=
1-t
1+t
,且α∈(
4
,π).
(1)化簡g(α)=cosα•f(sinα)+sinα•f(cosα);
(2)若g(α)=
7
5
,求sin3α+cos3α的值.
分析:(1)按照已知的函數(shù)關系式,利用同角三角函數(shù)的基本關系式化簡g(α)=cosα•f(sinα)+sinα•f(cosα),結合α的范圍求出表達式的值;
(2)結合(1)結果,g(α)=
7
5
,求出sinα+cosα的值,化簡sin3α+cos3α為求解的表達式,然后求出它的值.
解答:解:(1)由已知得g(α)=cosα•
1-sinα
1+sinα
+sinα•
1-cosα
1+cosα
…(1分)
=cosα•
(1-sinα)2
cos2α
+sinα•
(1-cosα)2
sin2α
…(2分)
=cosα•
1-sinα
|cosα|
+sinα•
1-cosα
|sinα|
 …(3分)
由α為第二象限角,得sinα>0,cosα<0.…(4分)
所以g(α)=-(1-sinα)+(1-cosα) …(5分)
=sinα-cosα…(6分)
(2)由已知,得g(α)=sinα-cosα=
7
5
.…(7分)
平方,得sinα•cosα=-
12
25
.①…(8分)
又由α∈(
4
,π),得sinα+cosα<0.…(9分)
所以sinα+cosα=-
1+2sinαcosα
=-
1
5
.②…(10分)
又sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos3α)
=(sinα+cosα)(1-sinαcosα) …(11分)
結合①②,得sin3α+cos3α=-
37
125
.…(12分)
點評:本題是中檔題,考查同角三角函數(shù)的基本關系式的應用,三角函數(shù)的化簡與求值,考查計算能力與轉化思想的應用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設a為實數(shù),設函數(shù)f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值為g(a).
(Ⅰ)設t=
1+x
+
1-x
,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)試求滿足g(a)=g(
1
a
)
的所有實數(shù)a

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x,y)=(1+
m
y
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(1)當m=3時,求f(6,y)的展開式中二項式系數(shù)最大的項;
(2)若f(4,y)=a0+
a1
y
+
a2
y2
+
a3
y3
+
a4
y4
且a3=32,求
4
i=0
ai
;
(3)設n是正整數(shù),t為正實數(shù),實數(shù)t滿足f(n,1)=mnf(n,t),求證:f(2010,1000
t
)>3f(-2010,t)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1(x∈
R)的最大值為M,最小正周期為T
(1)求M,T及函數(shù)的單調增區(qū)間;
(2)10個互不相等的正數(shù)xi滿足f(xi)=M,且xi<10π(i=1,2,…,10)求x1+x2+…+x10的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設函數(shù)f(t)=
1-t
1+t
,且α∈(
4
,π).
(1)化簡g(α)=cosα•f(sinα)+sinα•f(cosα);
(2)若g(α)=
7
5
,求sin3α+cos3α的值.

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