【題目】已知橢圓：（）的左右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，證明：直線過頂點(diǎn).

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：第一問利用三角形的面積求得所滿足的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及橢圓中的關(guān)系，求得其值，得到橢圓的方程，第二問涉及直線與橢圓相交，需要設(shè)出直線的方程，先去驗(yàn)證直線的斜率是存在的，設(shè)出方程之后，與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理得到其兩根和與兩根積，利用題中所給的斜率的關(guān)系，得出等量關(guān)系式，從而求得直線過定點(diǎn).

詳解：（1）由題意可設(shè)橢圓的半焦距為，

由題意得：

所以

所以橢圓的方程為：

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)其方程為且），

不妨設(shè)，且

故把代換化簡(jiǎn)得：，不合題意

設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立

，

由，是上方程的兩個(gè)根可知：

由，

化簡(jiǎn)整理得：

即

故或（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)）

把代入得

所以直線方程為（），恒過點(diǎn)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)滿足 (為極點(diǎn)).設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知直線的參數(shù)方程是，(為參數(shù)).

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；

（2）設(shè)直線交兩坐標(biāo)軸于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形鐵皮，其中P是弧TN上一點(diǎn)．設(shè)，長(zhǎng)方形的面積為S平方米．

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；

（2）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租，人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售價(jià)（元）與日均銷售量（桶）的關(guān)系如下表，為了收費(fèi)方便，經(jīng)營(yíng)部將銷售價(jià)定為整數(shù)，并保持經(jīng)營(yíng)部每天盈利．

6

7

8

9

10

11

12

…

480

440

400

360

320

280

240

…

（1）寫出的值，并解釋其實(shí)際意義；

（2）求表達(dá)式，并求其定義域；

（3）求經(jīng)營(yíng)部利潤(rùn)表達(dá)式，請(qǐng)問經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線交于點(diǎn)，射線與曲線交于點(diǎn)，求的面積（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問題的程序框圖，若輸出的值為0，則開始輸入的值為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

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