Question

【題目】定義：若函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)（），則稱函數(shù)是“雙奇函數(shù)” ．函數(shù)．

（1）若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，求實數(shù)的值；

（2）假設．

（i）在（1）的條件下，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（ii）若，討論函數(shù)的極值點．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）（i）見解析；（ii）見解析

【解析】

（1）由題意結合“雙奇函數(shù)”的定義可知對任意且成立， 據(jù)此計算實數(shù)a的值即可；

（2）（i）由題意結合(1)的結論可知，．由導函數(shù)的符號討論函數(shù)的單調(diào)性即可；

（ii）由函數(shù)的解析式可知當時，．

令，則據(jù)此結合函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的極值即可.

當時， ，據(jù)此分段討論函數(shù)的極值的情況即可.

（1）因為，所以．

又因為函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，

所以對任意且成立，

所以，解得．

（2）（i）（，且）．

由（1）求解知，，則，所以．

令，得；令，得，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（ii）．

當時，．

令，則（舍去）．

分析知，當時，；當時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以的極小值點，不存在極大值點．

當時，

當時，．令，得（舍）．

若，即，則，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點；

若，即，則當時，；當時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個極小值點，不存在極大值點．．

當時，．

令，得，記．

若，即時，，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上不存在極值點；

若，即時，則由，得．

分析知，當時，；當時，；當時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當時，函數(shù)存在兩個極值點．

綜上，當時，函數(shù)存在兩個極值點，且極小值點，極大值點

；

當時，函數(shù)無極值點；

當時，函數(shù)的極小值點，無極大值點．