Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直⊙O所在的平面，C為⊙O上一點，AB=2，AC=1，二面角P-BC-A為．
（1）求證BC⊥面PAC；
（2）求三棱錐P-ABC體積；
（3）求點A到面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知中PA垂直⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，易得PA⊥BC，BC⊥AC，我們易結合線面垂直的判定定理得到BC⊥面PAC
（2）由（1）的結論，結合線面垂直的性質得到BC⊥PC，故∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，結合AB=2，AC=1，二面角P-BC-A為．求出三棱錐P-ABC的底面面積及高，即可得到三棱錐P-ABC的體積；
（3）點A到面PBC距離為h，結合（2）的結論，求出三角形PBC的面積，根據(jù)棱錐的體積公式，易求出點A到面PBC的距離．
解答：證明：（1）∵PA⊥⊙O所在平面，且BC為⊙O的弦∴PA⊥BC
∵AB為⊙O的直徑∴BC⊥AC
而PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
解：（2）由BC⊥面PAC得BC⊥PC
又由（1）知BC⊥AC
所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角
∴
∵
∴
∴
（3）設點A到面PBC距離為h
∵
∴
∴
∴
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，點、線、面間的距離計算，其中熟練掌握空間線面垂直、平行的判定、性質，善于根據(jù)直角三角形、圓周角的性質，判斷出直線與直線垂直是解答本題的關鍵．